Prova OBMEP 2014 Nível 2

\(\left( UPE \right) \) No plano cartesiano, a reta s: 4x -3y +12 =0 intersecta o eixo das abscissas no ponto A e o eixo das ordenadas no ponto B . Nessas condições, qual é a distância entre os pontos A e B ?

a) 5
b) \( \sqrt { 5} \)
c) 2\(\sqrt { 2}\)
d) 2
e) \( \sqrt { 2} \)

\(\left( Ufam \right) \) Considere as retas r:2y – x = 10 e s: y + 2x = 5.

É correto afirmar que:

a) As retas são paralelas.
b) As retas são perpendiculares.
c) As retas são concorrentes no ponto \(\left( 5,0 \right) \).
d) As retas são concorrentes no ponto \(\left( -10,0 \right) \).
e) As retas são coincidentes.

\(\left( UFPR \right) \) Considere a reta r de equação y = 2x + 1.

Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P = \(\left( 4,2 \right) \) ?

a) \(Y= \frac { 1 }{ _{ 2 } } { X }\)
b) y = -2x + 10
c) \(Y= -\frac { 1 }{ _{ 2 } } { X }\)+5
d) y = -2x
e) \(Y= -\frac { 1 }{ _{ 2 } } { X }\)+4

\(\left( UFRGS-RS\right) \) No pentágono representado abaixo no sistema de coordenadas cartesianas abaixo, os vértices possuem coordenadas inteiras.

As retas suporte dos lados \( \bar {AE } \) e \( \bar {BC } \) intersectam-se no ponto:

a) \(\begin{pmatrix} 5.\frac { 4 }{ 3 } \end{pmatrix} \)
b) \(\begin{pmatrix} 5.\frac { 5 }{ 2 } \end{pmatrix} \)
c) \(\begin{pmatrix} 5.\frac { 5}{ 3 } \end{pmatrix} \)
d) \( \begin{pmatrix} 5.\frac { 5 }{ 4 } \end{pmatrix} \)
e) \( \begin{pmatrix} 5.\frac { 6 }{ 5 } \end{pmatrix} \)

\( \left( Unicamp-SP \right) \) No plano cartesiano, a reta de equação 2x – 3y = 12 intersecta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio dos segmentos \( \bar { AB} \) tem coordenadas:

a)\( \begin{pmatrix} 4.\frac { 4 }{ 3 } \end{pmatrix} \)
b)\( \left( 3,2 \right) \)
c) \( \begin{pmatrix} 4.-\frac { 4 }{ 3 } \end{pmatrix} \)
d)\( \left( 3,-2 \right) \)

\( \left( UFRGS-RS \right) \) As equações das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas abaixo são 2x + y – 3 = 0, 5x – 4y – 8 = 0 e x – 3y + 3 = 0.

As equações de r e s são, respectivamente:

a) 2x + y – 3 = 0 e x – 3y + 3 =0.
b) 2x + y – 3 = 0 e x – 4y – 8 =0.
c) 5x – 4y -8 = 0 e x – 3y + 3 =0.
d) x – 3y + 3 = 0 e 2x + y – 3 = 0.
e) x- 3y + 3 = 0 e 5x – 4y – 8 = 0.

\( \left( ITA-SP \right) \) A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r: x – 3y + 3 = 0 e s: 3x + y – 21 = 0, em unidades de área, é igual a:

a) \( \frac { 19 }{20 } \)
b) 10
c) \( \frac { 25 }{2 } \)
d) \( \frac { 27 }{2 } \)
e) \( \frac { 29 }{2 } \)

\( \left( FGV-SP\right) \) No plano cartesiano, a reta \( \left( r\right)\) de equação y + kx = 2 é perpendicular á reta\( \left( s\right)\) que passa pela origem e pelo ponto \( \left( -5, 1\right)\) .

O ponto de interseção das retas \( \left( r\right)\) e \(\left( s\right)\) tem abscissa:

a) \( -\frac { 5}{ 3 } \)
b) \( -\frac { 4}{13 } \)
c) \( -\frac { 3}{13 } \)
d) \( -\frac { 2}{13 } \)
e) \( -\frac { 1}{13 } \)

\(\left( PUC-RJ\right) \) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = \(\left( 4, 5 \right) \), B= \(\left( 4, 0 \right) \) e C = \(\left( c, 0 \right) \),

As equações de r e s são, respectivamente :

a) y = – x + 7.
b) y = \( -\frac {x }{ 3} \) + 5.
c) y = \( -\frac {x }{ 2} \) + 5
d) y = \( -\frac {x }{ 2} \) + 7
e) y = \( \frac {x }{ 3} \) + 7

\( \left(Ufscar- SP \right) \) O retângulo da figura tem como vértices os pontos \( \left(1, 3 \right) \) , \( \left(5, 3 \right) \) , \( \left(5, -2 \right) \) e \( \left(1, -2 \right) \)

A equação da reta que passa pelo ponto \( \left(2, 0 \right) \) e divide o retângulo em dois polígonos de mesma área é:

a) x – 2y -2 = 0.
b) 2x – 3y – 4= 0.
c) 3x – 4y – 6 = 0.
d) 4x – 5y – 8 = 0.
e) 5x – 6y – 10 = 0.

\(\left( UFJF-MG \right) \) Dados os pontos A = \(\left( 1, 2 \right) \), B = \(\left( 3, 5 \right) \) , C= \(\left( 1, 1 \right) \) e D = \(\left( 2, 3 \right) \), considere as afirmações:

I. Os pontos A, B e D são colineares.

II. Uma reta perpendicular á reta determinada pelos pontos A e B tem coeficiente angular m = \( \frac { -2 }{ 3} \).

III. A distância do ponto A á reta determinada pelos pontos B e C é 10 unidades de comprimento.

É CORRETO afirmar que:

a) Apenas a afirmação II é verdadeira;
b) Apenas a afirmação III é verdadeira;
c) Apenas a afirmações I e II são verdadeiras;
d) Apenas a afirmações I e III são verdadeiras;
e) Apenas a afirmações II e III são verdadeiras;

\(\left( PUC- RJ\right) \) Sejam r e s as retas das equações y = x – 2 e y =\( -\frac {x }{ 2 }\) +\( -\frac {5 }{ 2 } \), respectivamente representados no gráfico abaixo. Seja A o ponto de interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de interseção de r e s com o eixo horizontal, respectivamente.

A área do triângulo ABC vale:

a) 1,0.
b) 1,5
c) 3,0
d) 4,5
e) 6,0

\( \left( UFSM-RS \right) \) A figura mostra um jogo de videogame, em que aviões disparam balas visando atingir o alvo. Quando o avião está no ponto \( \left( 1 , 2 \right) \), dispara uma bala e atinge o alvo na posição \( \left( 3, 0 \right) \).

Sendo r a reta determinada pela trajetória da bala, observe as seguintes afirmativas:

I. O ponto P \( \left( \frac {1 }{ 2} ,\frac { 5 }{ 2 } \right) \) pertence a r.

II. A reta r é perpendicular à reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento \( \left( \bar {AB } \right) \) onde A\( \left( 0,3 \right) \) e B \( \left( 3,0 \right) \).

III. A reta r é paralela á reta s: 2x – 2y + 5 = 0.

Está(ão) correta(s)

a) Apenas I.
b) Apenas I e II.
c) Apenas III.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.

\( \left(UFV-MG \right)\) Sejam a e b números reais tais que a reta de equação \( \left(3b + 4a \right)\) x + 2y + b =0 é paralela ao eixo das abscissas e intersecta bissetriz dos quadrantes pares no ponto de abscissa x = -6. O valor de a é:

a) -9.
b) 6
c) -12.
d) 9
e) 12

\(\left(UEPB \right) \) Um quadrilátero, cujos vértices são dados por E \(\left(-1, 0\right) \), F \(\left(-2, -2 \right) \), G \(\left(-1, -4 \right) \) e H \(\left(0, -2 \right) \), possui área igual a:

a) 8 u a.
b) 4 u a.
c) 6 u a.
d) 10 u a.
e) 2 u a.

\( \left( UEPB\right) \) A reta de equação \( \left( x – 2 \right) \)m + \( \left( m-3 \right) \)y + m – 4 = 0, com m constante real, passa pelo ponto P \( \left( 2,0\right) \). Então, seu coeficiente angular é:

a) 4
b) -4
c) \( \frac {1 }{4 } \)
d) \( -\frac {1 }{4 } \)
e) 2

\(\left(Unifesp \right) \) Se P é o ponto de intersecção das retas de equações x- y – 2 = 0 e \( \frac {1 }{ 2} \)x + y = 3, a área do triângulo de vértices A\(\left(0, 3 \right) \), B \(\left(2,0\right) \) e P é:

a) \( \frac {1 }{ 3} \)
b) \( \frac {5 }{ 3} \)
d) \( \frac {10 }{ 3} \)
e) \( \frac {20 }{ 3} \)

\(\left( Enem \right) \) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve á conversão do sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levas esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal ás antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas:

a) \(\left(65; 35 \right) \)
b) \(\left( 53;30 \right) \)
c) \(\left( 45;35 \right) \)
d) \(\left( 50 ;20 \right) \)
e) \(\left(50;30 \right) \)

\( \left( Uece\right) \) Em um plano, munido do sistema coordenadas cartesianas usual, as equações 3x – 2y + 6 = 0 e 3x + 4y – 12 = 0, representam duas retas concorrentes. A medida da área da região limitada por essas retas e pelo eixo dos x é:

u.a = unidade de área

a) 10 u a.
b) 9 u a.
c) 12 u a.
d) 11 u a.

\(\left(PUC-SP \right) \) Suponha que no plano cartesiano mostrado na figura abaixo, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o quilômetro, as retas r e s representam os trajetos percorridos por dois navios \( { N}_{ 1 }\), \( { N}_{ 2 }\), antes de ambos atracarem em uma ilha, localizada no ponto I.

Considerando que, no momento em que \( {N }_{ 1}\) e \( {N }_{ 2}\) se encontravam atracados em I, um terceiro navio, \( {N }_{ 3}\), foi localizado no ponto de coordenadas \(\left(26, 29 \right) \), a quantos quilômetros \( {N }_{ 3}\) distava de I ?

a) 28
b) 30
c) 34
d) 36
e) 40

\( \left( FGV SP \right) \) No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices A\( \left( 1,4 \right) \),B\( \left( 4,5 \right) \) e C \( \left( 6,2 \right) \).

A reta suporte da altura relativa ao lado \( \bar { AC} \) intersecta o eixo x no ponto de abscissa:

a) 2
b) 2,2
c) 2,4
d) 2,6
e) 2,8

\( \left( FGV-SP\right) \) Observe as coordenadas cartesianas de cinco pontos. A \( \left( 0, 100\right) \), B\( \left(0, -100\right) \) , C\( \left( 10, 100\right) \), D\( \left( 10, -100\right) \), E\( \left( 100,0\right) \).

Se a reta de equação reduzida y= mx + n é tal que mn >0 então, dos cinco pontos dados anteriormente, o único que certamente não pertence ao gráfico dessa reta é:

a) A
b) B
c) C
d) D
e) E

\( \left( UFRGS RS \right) \) Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um hexágono regular ABCDEF de lado 1, tal que o ponto A tem coordenadas \( \left( 1, 0 \right) \) e o ponto D tem coordenadas \( \left( -1, 0 \right) \), como na figura abaixo.

A equação da reta que passa pelos pontos B e D é

a) y= \( \sqrt {3x } \)
b) y=\( \frac { \sqrt {3 } }{3 } x + \frac { \sqrt {3 } }{3 } \)
c) y= \( \frac { \sqrt {3 } }{2 } x \) +\( \frac { \sqrt {3 } }{2 } \)
d) y= \( \frac { \sqrt {3 } }{3 } x\) – \( \frac { \sqrt {3 } }{3 } \)
e) y= \( \frac { \sqrt {3 } }{2 } x\) – \( \frac { \sqrt {3 } }{2 } \)

\( \left( Enem \right) \) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam expostos a riscos de acidentes. Essa região está representada pela porção de cor cinza ( quadrilátero de área S) na figura.

Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área isolada, cartazes informativos serão afixados por toda a fábrica. Para confeccioná-los, um programador utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de um conjunto de desigualdades algébricas. As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da região de isolamento, são

\( \left(Mac SP \right) \) Na figura, as retas r e s são paralelas.

Se \( \left(x,y \right) \) é um ponto s, então x – y vale:

a) 2
b) \( \sqrt {2 } \)
c) 4
d) 2\( \sqrt {2 } \)
e) 4\( \sqrt {2 } \)

\( \left(Ufam \right) \) Sejam A \( \left(- 4, 2 \right) \), B \( \left(-8, -8 \right) \), C \( \left(0, 2 \right) \) e D \( \left(4, 12 \right) \) vértices consecutivos de um paralelogramo. A altura relativa ao lado \(\bar {BC } \) deste paralelogramo é igua a:

a) \( 2\sqrt { 29 } \)
b) \(2\sqrt { 41 } \)
c) \( \frac { 12 }{ \sqrt { 41} } \)
d) \( \frac { 20 }{ \sqrt { 29} } \)
e) \( \frac { 20 }{ \sqrt { 41} } \)

\(\left( Insper SP\right) \) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intersecta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intersecta o eixo y em um ponto de ordenada b. Se as retas r e s intersectam se em um ponto de abscissa 6, então:

a) b = a
b) b = a – 9
c) b = a – 6
d) b = a + 9
e) b = a + 6

\( \left( FGV SP \right) \) Os pontos A \( \left( 3, -2 \right) \) e C \( \left( 1, 4 \right) \) do plano cartesiano são vértices de um quadrado ABCD cujas diagonais são \( \bar {AC } \) e \( \bar {BD} \). A reta suporte da diagonal \( \bar {BD } \) intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada:

a) \( \frac {2 }{3 } \)
b) \(\frac {3 }{5 } \)
c) \( \frac {1 }{2 } \)
d) \( \frac {1 }{3 } \)
e) 0

\( \left(UPE \right) \) Qual a medida da área do quadrilátero limitadas pelas retas \( \left(r \right) \) y = 4; \( \left(s \right) \) 3x – y – 2 = 0; \( \left(t \right) \) y = 1 e \( \left(u \right) \) 3x + 2y – 20 = 0?

a) 7,5
b) 9,0
c) 10,5
d) 11
e) 12

\( \left( ITA SP \right) \) Considere os pontos A = \( \left( 0, -1 \right) \), B = \( \left( 0, 5 \right) \) e a reta r: 2x – 3y + 6 – 0. Das afirmações a seguir:

I. d \( \left( A, r \right) \) = d \( \left( B, r \right) \).

II. B é simétrico de A em relação á reta r.

III. \(\bar { AB } \) é a base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C\( \left( -3\sqrt { 3,} 2 \right) \) ou C\( \left( 3\sqrt { 3,} 2 \right) \)

a) I.
b) II.
c) I e II.
d) I e III.
e) II e III.

\(\left( PUC SP\right) \) Em um sistema cartesiano ortogonal, em que a unidade de medida nos eixos é o centímetro, considere:

a reta r, traçada pelo ponto \(\left( 2, 3\right) \) e paralela á bissetriz dos quadrantes ímpares;
a reta s, traçada pelo ponto \(\left( 2, 5\right) \) e perpendicular a r;
o segmento \( \bar { OA} \) em que o ponto O é a origem do sistema e A é a intersecção de r e s.

Um ponto M é tomado sobre o segmento \( \bar { OA} \) de modo que OM e MA correspondam ás medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo \( \triangle \). Se o outro cateto de \( \triangle \) mede 3 cm, a área de superfície, em centímetros quadrados é:

a) 1,8
b) 2,4
c) 3,5
d) 4,2
e) 5,1

\( \left(Insper SP \right) \) No plano cartesiano de figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos A\( \left(8, 2 \right) \) e B\( \left(3,6 \right) \) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45°, representa uma estrada que será construída.

Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intersecta a existente, deverá ter coordenadas:

a) \(\left( \frac { 1 }{ 2 } ,0 \right) \)
b) \( \left(1, 0 \right) \)
c) \(\left( \frac { 3 }{ 2 } ,0 \right) \)
d) \( \left(2, 0 \right) \)
e) \( \left( \frac { 5 }{ 2 }\right) \),0

\( \left(Mack Sp \right) \)

Na figura acima a área, em \( { cm }^{ 2 }\), do triângulo ORV é:

a) \( \frac { 50 }{ 3 } \)
b) \( \frac { 25 }{ 3 } \)
c) \( \frac { 10 }{ 3 } \)
d) \( \frac { 2 }{ 3 } \)
e) \( \frac { 1 }{ 3 } \)

\( \left( Ufscar SP\right) \) Sabe se, a respeito dos pontos P, Q e R, situados no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, que o ponto P\( \left( x,y\right) \) situa se no 1° quadrante, o ponto Q é simétrico do ponto P em relação ao eixo y e que o ponto R é simétrico do ponto Q em relação á reta y = 1. Pode se concluir, então que as coordenadas do ponto R são:

a) \( \left( -x, 1 – y\right) \)
b) \( \left( -x, 2 – y\right) \)
c) \( \left(0, y\right) \)
d) \( \left( x, 1 -y\right) \)
e) \( \left(x, y -2\right) \)

\(\left( FGV SP\right) \) O ponto da reta x – 3y = 5 que é mais próximo ao ponto \(\left( 1,3 \right) \) tem coordenadas cuja soma é:

a) 1,6
b) 1,2
c) 1,0
d) 1,4
e) 0,8

\(\left( UFRGS RS\right) \) As retas de equações y = ax e y = -x + b interceptam se em um único ponto cujas coordenadas são estritamente negativas.

Então, pode se afirmar que

a) a > 0 e b > 0.
b) a < 0 e b < 0.
c) a < -1 e b > 0.
d) a > 0 e b < 0.
e) a < -1 e b < 0.

\( \left( UFRGS RS \right) \) Os pontos A\( \left(1, 2 \right) \), B\( \left( 6, 2 \right) \) e C são os vértices de um triângulo equilátero, sendo o segmento \( \bar {AB } \) a base deste.

O seno do ângulo formado pelo eixo das abscissas e a reta suporte do lado \( \bar {BC} \) no sentindo anti horário é:

a) \( -\frac { 1 }{ 2 } \)
b) \( -\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
c) \( \frac { 1 }{ 2 } \)
d) \( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)
e) \( \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\)

\( \left(FGV-SP \right) \)No plano cartesiano, a área do polígono determinado pelo sistema de inequações

é igual a

a) 12
b) 12,5
c) 14
d) 14,5
e) 15.

\( \left( Fatec-SP \right) \) No plano cartesiano representado a seguir, o coeficiente angular da reta \( \overleftarrow { O } \overrightarrow {A } \) é 1, e a área do losango ABCO é 8\( \sqrt { 2 } \). Portanto , o valor de p é:

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

\( \left( Uerj \right) \) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A\( \left( 0, 4 \right) \) e B\( \left(2,0 \right) \), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P\( \left( { x}_{ 0 },0 \right) \), sendo

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C\( \left( 0, 0 \right) \),A e B, o valor de \( { x}_{ 0}\) deve ser igua a:

a) 2 – \( \sqrt { 2} \)
b) 3 – \( \sqrt { 2} \)
c) 4 – \(2\sqrt { 2} \)
d) 5 – \(2 \sqrt { 2} \)

\( \left( UEMG \right) \) Dadas as equações de reta r: x + y – 6 = 0 e s: 2x – y = 0 em um dado plano cartesiano de centro 0. As retas r e s são concorrentes no ponto P e a reta r intercepta o eixo das abscissas no ponto Q. O volume do sólido formado pela rotação da figura plana formada pelos pontos OPQ em torno do lado \(\bar {OQ } \) é: \( \left ( use \pi = 3 \right)\)

a) 32 \({ cm }^{ 3 } \)
b) 64 \({ cm }^{ 3 } \)
c) 96 \({ cm }^{ 3 } \)
d) 88 \({ cm }^{ 3 } \)

\( \left( Unifesp \right) \) Num sistema cartesiano ortogonal, são dados os pontos A\( \left( 1,1 \right) \), B\( \left( 5,1 \right) \), C\( \left(6,3 \right) \) e D\( \left( 2, 3 \right) \), vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação r: 3x – 5y – 11 = 0.

A reta s, paralela á reta r, que divide o paralelogramo ABCD em dois polígonos, de mesma área terá por equação:

a) 3x – 5y – 5 = 0 .
b) 3x – 5y = 0
c) 6x – 10y – 1 = 0
d) 9x – 15 y – 2 = 0
e) 12x – 20y – 1 = 0

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Marcelo F Batista 05/02/2025

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