Prova PROFMAT ENA – 2016

Um canavial tem a forma de um quadrado com 90 metros de lado e um trabalhador consegue ceifá-lo em 9 dias. Sabendo que o tempo gasto pelo trabalhador para ceifar o canavial é proporcional à sua àrea, qual é a medida do lado, em metros, de um outro canavial quadrado, que o mesmo trabalhador conseguiria ceifar em 4 dias?

Quantos são os números inteiros não negativos k para os quais a equação x² + 6x + k = 0 tem soluções inteiras?

Se o dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa quarta-feira, então 15 de outubro do mesmo ano foi numa

Um triângulo equilátero e um quadrado estão inscritos na mesma circunferência. Sabendo que o quadrado tem área 9 cm², qual a área, em cm², do triângulo equilátero?

De quantas maneiras distintas podemos colocar, em cada espaço abaixo, os algarismos 2, 3, 4, 7, 8, 9, de modo que todos os seis algarismos apareçam e formem, em cada membro, números de dois algarismos que satisfaçam as duas duas desigualdades?

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Um topógrafo com o objetivo de determinar a altura h de uma torre do outro lado de um rio de largura constante R passando por uma região totalmente plana, procedeu da seguinte maneira: Foi até a margem do rio e mediu o ângulo β entre a horizontal e o topo da torre. Em seguida, afastou-se x metros da margem do rio e fez outra medição de um ângulo α.

Sabendo que o teodolito tem altura \({ h }^{ ‘ }  \), a altura h da torre e a largura R do rio são:

A soma das soluções inteiras da inequação \( \frac { (2x−14)² }{ (x−1)(x−5) } \le 0 \) é igual a:

Sejam \( A=\frac { 1 }{ 2 } ×\frac { 3 }{ 4 } ×\frac { 5 }{ 6 } ×…×\frac { 2015 }{ 2016 } \), \( B=\frac { 2 }{ 3 } ×\frac { 4 }{ 5 } ×\frac { 6 }{ 7 } ×…×\frac { 2014 }{ 2015 } \) e \( C=\frac { 1 }{ 2016 } \). É correto afirmar que:

Considere uma pirâmide regular com base quadrada de lado 1 e altura também 1, como mostra a figura abaixo.

A área de uma face triangular dessa pirâmide é igual a:

Em uma urna há 8 bolas vermelhas e 5 brancas, indistinguíveis, exceto pela cor. Retiramos três bolas sucessivamente da urna, sem repô-las. A probabilidade de que sejam retiradas duas bolas brancas e uma bola vermelha, nesta ordem, é igual a:

Seja \( { I }_{ n }=\left\{ x∈N:1\le x\le n \right\} =\left\{ 1,\quad 2,\quad …,\quad n \right\} \), para n inteiro positivo. Quantas funções \( f:{ I }_{ 7 }→{ I }_{ 10 } \) satisfazendo f(1) = 9 e f(3) = 10 são injetivas, ou seja, funções em que elementos distintos de \( { I }_{ 7 } \) têm imagens distintas em \( { I }_{ 10 } \)?

. O conjunto de todos os valores de t ∈ R para os quais a equação \( cosx=\frac { 3t+2 }{ 4t-3 } \) admite soluções reais é:

Considere as afirmações abaixo:
(I) Se (x − 3)(x − 2) = (x − 2), então x = 2.

(II) Se x(x² – 2x + 1) = 0, então x = 0 ou x = 1 ou x = 2.

(III) Existe x ∈ R, tal que \( \frac { x-1 }{ x+1 } >1 \).

É correto afirmar que:

Em um teste de 30 questões de múltipla escolha, cada acerto acrescenta 3 pontos e cada erro desconta 1 ponto da nota do aluno. Antônio respondeu a todas as questões, correta ou incorretamente, e obteve 62 pontos. Indicando por x o número de acertos, podemos afirmar que:

Seja x um número real tal que \( { x }^{ 4 }-{ 2x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+2x=1 \). O valor absoluto da expressão x² – x – 1 é igual a:

Uma rede varejista anunciou publicamente, na última black friday, um desconto de 50% em todos os seus produtos. Pouco antes de aplicar o desconto, porém, aumentou todos os seus preços em 30%. Considerando o preço anterior ao aumento e ao desconto, e o preço final anunciado na promoção, o desconto real foi de

A turma A tem 48 alunos e a turma B tem 32. As duas turmas fizeram uma prova e a média aritmética das notas dos alunos da turma A foi de 5,7 e dos alunos da turma B foi de 6,5. Qual é a média aritmética das notas de todos os 80 alunos?

Em quantos algarismos zero termina o número 61!, representado no sistema decimal?

Na figura abaixo, os segmentos AG e DH são alturas dos triângulos equiláteros ABC e DEF, cujos lados têm medida ℓ. Sabe-se ainda que os pontos A, D, G e H são colineares e que o hexágono destacado na figura é regular.

A área do hexágono regular destacado acima é igual a:

Dois arcos metálicos circulares idênticos, correspondentes cada um a 3/4 de uma circunferência completa de raio 1 metro, são unidos por suas extremidades de maneira a formar a figura plana abaixo.

Supondo desprezível a espessura do arco, o valor da largura máxima, representada na figura, em metros, é igual a:

Na figura abaixo, ABCD é um retângulo onde \( \bar { AB } =8 \) e \( \bar { BC } =12 \). Sabe-se que o segmento PQ é paralelo a BC, Q é ponto médio de CD, \( \bar { AP } =x \) e \( \bar { PQ } =x+4 \).

Qual é o perímetro do triângulo ABP?

Um ônibus percorre um trecho de estrada, saindo às 10h30min e viaja a uma velocidade constante de 65 km/h. Um carro faz o mesmo percurso, viajando 10 km/h mais rápido, porém saindo 10 minutos após ônibus. A que horas o carro começa a ultrapassar o ônibus? (Despreze os comprimentos dos veículos.)

As bases de um trapézio isósceles têm medidas a e b, com a < b, e os lados não paralelos medem, cada um, c. Se h é a altura deste trapézio, é correto afirmar que h é igual a:

Florinda foi dar um passeio. Ela saiu do ponto A e caminhou 1 metro para a frente. Depois, virou 90° à sua esquerda e caminhou 2 metros para a frente. Virou novamente 90° à sua esquerda e caminhou mais 3 metros em frente. Ela continuou caminhando desta forma, andando sempre um metro a mais em cada trecho adicional e virando 90° à sua esquerda ao final deste trecho. No último trecho do percurso, ela caminhou 30 metros e chegou ao seu ponto final, que chamaremos de B. A figura seguinte ilustra os sete primeiros trechos do passeio (note que o ponto B não está ilustrado).

A distância, em metros, entre os pontos A e B é igual a:

Em uma folha de papel foi desenhado um quadriculado de 6×4 e depois foi traçada a diagonal de A a B como mostra a figura abaixo. Observe que a diagonal AB intersecta o quadriculado em 9 pontos, incluindo os vértices A e B.

Se desenharmos um quadriculado de tamanho 2016 ×1344, o número de pontos que a diagonal AB intersectará o quadriculado, incluindo os vértices, será igual a:

ABC é um triângulo tal que \( \bar { ABC } =6\) e \( \bar { BC } =9 \), Seja P sobre o lado BC com \( \bar { BP } =4 \), Sabendo que \( P\hat { A } B=x \) e \( P\hat { A } C=y \), a medida do ângulo \( B\hat { P } A \) é igual a:

Acrescentando-se 3 novos elementos ao conjunto A, obtemos o conjunto B com precisamente 224 subconjuntos a mais do que A. O número de elementos de A é igual a:

Sabendo que sen x · cos x = a, o valor de \( { sen }^{ 8 }x+{ cos }^{ 8 }x \) é igual a;

Numa pesquisa constatou-se que 75% das pessoas gostam de café, 80% gostam de suco e 77% gostam de refrigerante. As porcentagens mínima e máxima de pessoas que gostam simultaneamente de café, suco e refrigerante são, respectivamente,

Os lados do quadrado ABCD medem 4 unidades de comprimento. Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente. A área do círculo determinado pelos pontos A, M e N é igual a:

Um aluno utilizou a fórmula resolvente \( x=\frac { -b\pm \sqrt { b²-4ac } }{ 2a } \) para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau na forma ax²+bx+c = 0. No entanto por engano, trocou a por c no denominador da fórmula. Se as demais operações aritméticas foram realizadas corretamente, então sobre as raízes encontradas por engano, é correto afirmar que

Em uma festa, o número de mulheres era quatro vezes o número de homens. Após a chegada de cinco homens e cinco mulheres, a porcentagem de homens na festa passou a ser de 26%. Depois disso, qual a quantidade de pessoas na festa?

Considere um triângulo equilátero ABC e P um ponto interior do triângulo tal que h1 + h2 + h3 = 6, onde h1, h2 e h3 são as distâncias de P aos lados AB, AC e BC, respectivamente.

Qual é a área do triângulo ABC?

Em uma circunferência de raio r inscreve-se um triângulo ABC de modo que o lado AB é um diâmetro da circunferência, conforme a figura abaixo.

Se \( A\hat { B } C=α \), pode-se afirmar que área sombreada na figura acima é dada pela expressão

O ponto P é marcado sobre o lado BC de um triângulo ABC, e, a partir dele, são traçados os segmentos PM e PN, paralelos aos lados AC e AB respectivamente, com M ∈ AB e N ∈ AC.

Sabendo que \( \bar { BC }=4 \) e que a área do paralelogramo A M P N é igual a \( \frac { 3 }{ 8 } \) da área do triângulo ABC, o maior valor possível para a medida de BP é igual a:

Um médico solicita ao seu assistente que meça a pressão arterial de 8 pacientes. Ao finalizar a tarefa, o assistente calcula a pressão arterial média (aritmética) e encontra o valor de 13, 875.

Quando o médico vai consultar a tabela encontra um valor ilegível. Sobre o número ilegível é correto afirmar que este valor, em relação aos dados, é:

. Sejam ABCD e EFGH quadrados de lados 33 e 12, com EF sobre o lado DC. Seja X o ponto de interseção dos segmentos HB e DC, como mostrado na figura abaixo.

Se \( \bar { DE } =18 \), então \( \bar { EX } \) é igual a:

Um apostador participará de um jogo com sorteios diários. No primeiro dia, sua probabilidade de ganhar é igual a \( \frac { 1 }{ 2 } \), no segundo dia é \( \frac { 1 }{ 3 } \) e assim por diante, de forma que no n-ésimo dia a probabilidade de vitória seja \( \frac { 1 }{ n+1 } \). A probabilidade de que ele não tenha ganho até o fim do 2015º dia é igual a:

Um canal tem duas barragens, B1 e B2 dispostas em paralelo, transversalmente ao rio, que podem estar abertas ou fechadas e que funcionam independentes uma da outra. Quando uma das barragens está fechada a passagem de água pelo canal fica completamente interrompida. Sabendo que a probabilidade de que a barragem B1 ou B2 esteja fechada em um determinado dia é, respectivamente, de 10% e 5%, qual a probabilidade de o fluxo de água estar interrompido neste dia?