Provas de Matematica OBM 2015 – Nivel 1

(Enem)
Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação q = 400-100p, na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.
O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo

(Enem)

Para evitar urna epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = -2t²+120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer:

A segunda dedetização começou no

(Uece)

Sejam \(f:R \rightarrow R\) a função definida por f(x) = x²+x+1, P e Q pontos do gráfico de f tais que o segmento de reta \(\overline { PQ } \) é horizontal e tem comprimento iguala 4 m. A medida da distância do segmento \(\overline { PQ } \) ao eixo das abscissas é:

(Observação: A escala usada nos eixos coordenados adota o metro como unidade de comprimento).

(Ufam)
A função \(f:R \rightarrow R\) tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x+1) - f(x) = 8x-4, para todo número real. Então o menor valor de f(x) ocorre quando o valor de x é igual a:

(UFRGS-RS)

Considere as funções f e g, definidas respectivamente por f(x) = 10x-x²-9 e g(x) = 7, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico da função g intersecta o gráfico da função f em dois pontos. O gráfico da função f intersecta o eixo das abcissas em dois pontos.

A área do quadrilátero convexo com vértices nesses pontos é

(Vunesp)

No universo dos números reais, a equação \(\frac { ({ x }^{ 2 }-13x+40)({ x }^{ 2 }-13x+42) }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-12x+35 } } \) é satisfeita por apenas

(Cefet-MG)

Sobre a função real f(x) = (k-2)x²+4x-5, assinale (V) para as afirmativas verdadeiras ou (F) para as falsas.

(  ) O gráfico de f(x) é uma parábola para todo \(k\in R\).

(  ) Se k = 11 então f(x) é negativa para todo\(k\in R\) ;

(  ) Se k > 2, então f(x) é urna parábola com concavidade voltada para cima;

(  ) Se k = 3, então f(-5) = 1.

A sequência correta encontrada é:

(FICSAE-SP)

Adriana e Beatriz precisam produzir 240 peças. Juntas elas levarão um tempo T, em horas, para produzir essas peças Se Adriana trabalhar sozinha, ela levará (T + 4h) para produzir as peças Beatriz, sozinha, levará (T + 9 h) para realizar o serviço. Supondo que cada urna delas trabalhe em ritmo constante, o número de peças que Adriana produza mais do que Beatriz, a cada hora, é igual a

(FGV-SP)

Um fazendeiro dispõe de material para construir 60 metros de cerca em uma região retangular, com um lado adjacente a um rio.

Sabendo que ele não pretende colocar cerca no lado do retângulo adjacente ao rio, a área máxima da superfície que conseguirá cercar é:

(Ufam)

Seja \(f:\quad R \rightarrow R\)  uma função quadrática com raízes \({ x }_{ 1 }=1\quad e\quad { x }_{ 2 }=5\) tal que seu valor máximo é \({ Y }_{ v }=4\).

A lei que melhor define esta função é:

(UPE)

Em torno de um canteiro retangular de 12 m de comprimento por 8 m de largura, pretende-se construir uma calçada. Qual deve ser a largura máxima dessa calçada, se o material disponível só é suficiente para cimentar uma área de 69 m²?

(Uece)

Se x e y são números reais tais que 5y+2x = 10, então, o menor valor que x + y pode assumir é:

(UEMG)
O lucro de urna empresa é dado pela expressão matemática L = R-C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma fábrica de tratores produziu n unidades e verificou que o custo de produção era dado pela Função C(n) = n²-1000n e a receita representada por R(n) = 5000n-2n².
Com base nas informações acima, a quantidade n de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo corresponde a um número do intervalo

(FGV-SP)

Alfredo e Breno partem, ao mesmo tempo, dos pontos A e B respectivamente, ambos caminhando sobre a reta \(\overleftrightarrow { AB } \) mas em sentidos contrários. No momento em que eles se encontram, Alfredo havia percorrido 18 km a mais do que Breno. Logo depois do encontro, eles continuam suas caminhadas sendo que Alfredo leva 4 horas para chegar em B, percorrendo x quilômetros, e Breno leva 9 horas para chegar em A.

Admitindo-se que Alfredo e Breno fizeram suas caminhadas com velocidades constantes durante todo o tempo, x será a raiz positiva da equação

(Fuvest-SP)

O retângulo ABCD, representado na figura, tem lados de comprimento AB = 3 e BC = 4. O ponto P pertence ao lado BC e BP = 1. Os pontos R, Se T pertencem aos lados AB, CD e AD, respectivamente O segmento RS é paralelo a AD e intersecta DP no ponto Q. O segmento TQ é paralelo a AB.

Sendo x o comprimento de AR, o maior valor da soma das áreas do retângulo ARQT, do triângulo e do triângulo DQS, para x variando no intervalo aberto ]0, 3[ é

(Enem)

Um túnel deve ser lacrado com urna tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:

Y = 9-x², sendo x e y medidos em metros.

Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a \(\frac { 2 }{ 3 } \)  da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

(PUC-SP)

Para abastecer seu estoque, um comerciante comprou um lote de camisetas ao custo de 16 reais a unidade. Sabe-se que em um mês, no qual vendeu (40-x) unidades dessas camisetas ao preço unitário de x reais, o seu lucro foi máximo. Assim sendo, pela venda de tais camisetas nesse mês, o percentual de aumento repassado aos seus clientes, calculado sobre o preço unitário que o comerciante pagou na compra do lote, foi de:

(PUC-RJ)

A soma dos valores inteiros que satisfazem a desigualdade de \({ x }^{ 2 }+6x\le -8\)  é:

(Uerj)

Observe a função f, definida por: f(x) = x=2kx+29, para \(x\in R\).

Se \(f(x)\ge \quad 4\) para todo número real X, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

(Unicamp-SP)
Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os homens despendem R$2400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora cada uma tenha pago R$64,00 a menos que cada homem. Denotando por x o número de homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite encontrar tal valor é:

(Enem)

Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura.

A área para o público será cercada com dois tipos de materiais:

• nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00;

• nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00.

A empresa dispõe de R$ 5000,00 para comprar todas as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público.

A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é

(UFRGS-RS)
Considere o polinômio p definido por P(x)= x²+2(n+2)x+9n.
Se as raízes de p(x)=0 são iguais, os valores de n são

(Fuvest-SP)

A trajetória de um projétil lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo.

O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?

(UCS-RS)
O lucro obtido por um distribuidor com a venda de caixas de determinada mercadoria é dado pela expressão \(L(x)=(\frac { 6 }{ 5 } x\quad -\quad \frac { { 0,01 } }{ 5 } { x }^{ 2 })-0,6x\), em que x denota o número de caixas vendidas.
Quantas caixas o distribuidor deverá vender para que o lucro seja máximo?

(UEPB)

O gráfico da função \(f:R \rightarrow R\)  dada por f(x) = mx²+nx+p com \(m\neq 0\) é a parábola esboçada abaixo, com vértice no ponto V.

Então podemos concluir corretamente que:

(Insper-SP)

Uma companhia aérea começa a vender bilhetes para os voos de um dia especifico com antecedência de um ano. O preço em reais, que ela cobra por um determinado trecho vai aumentando conforme se aproxima a data do voo de acordo com a lei p(t)= 2000-4t,  em que t é o tempo, em dias, que falta para a respectiva data.

Considere que a quantidade vendida v em cada um desses dias varia em função do preço p(t) e do tempo t, segundo a expressão v= 0,0002.t.p(t). O valor arrecadado por essa companhia no dia em que a quantidade vendida é máxima é igual a

(UEG-GO)

O trinômio do segundo grau y = (2m+1)x²+4mx+m, em que m é um número real, é sempre positivo, se e somente se:

(UFSM-RS)
Ao descartar detritos orgânicos nos lagos, o homem está contribuindo para a redução de quantidade de oxigênio destes. Porém, com o passar do tempo, a natureza vai restaurar a quantidade de oxigênio até o seu nível natural.
Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias após os detritos orgânicos serem despejados no lago, é expressa por \(f(t)=100\left( \frac { { t }^{ 2 }-20t+198 }{ { t }^{ 2 }+1 } \right)\) por cento (%) de seu nível normal.
Se \({ t }_{ 1 }\quad e\quad { t }_{ 2 }\quad \) com \({ t }_{ 1 }<{ t }_{ 2 }\) representam o número de dias para que a quantidade de oxigênio seja 50% de seu nível normal, então é igual a:

(Unicamp-SP)

Seja a um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas y = 2x²+2x+2 e y=2x²+ax+3. Essas parábolas não se intersectam se e somente se:

(Unicamp-SP)
Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a urna distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre

(UFRGS-RS)

Dadas as funções f e g, definidas por f(x) = x²+1 e g(x) = x, o intervalo tal que f(x)>g(x) é

(Enem)

Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h)= -h²+22h-85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.

Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como

(EsPCEx-SP)
Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, esse fabricante venderá por mês (600-x) unidades, em que \(0\le \quad x\quad \le 600\).
Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo.

(UPE)

A parábola, representada na figura abaixo é o esboço do gráfico de urna função quadrática ax²+x+c. Se a parábola y = 2-f(x + 3) tem vértice V = (p, q) e intersecta o eixo y no ponto P = (0, r), qual é o valor \(\frac { p-q }{ r } \)?

(Uece)

Sejam\(f,\quad g:\quad R \rightarrow R\) funções quadráticas dadas por f(x) = -x²+8x-12 e g(x) = x²+8x+17.

Se M é o maior máximo de f e m o valor mínimo de g, então, o produto M.m é igual a

(Enem)

Um professor, depois de corrigiras provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f. de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x),da seguinte maneira:

• A nota zero permanece zero.
• A nota 10 permanece 10.
• A nota 5 passa a ser 6.

A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é:

(UFJF-MG)

Uma função quadrática f(x) = ax²+bx+c assume valor máximo igual a 2 em x =3.

Sabendo-se que 0 é a raiz da função f, então f(5) é igual a:

(PUC-RJ)
Considere as funções reais f(x) = x²+4x e g(x)=x.
Qual é o maior inteiro para o qual vale a desigualdade f(x)<g(x)?

(FGV-SP)
A área de um segmento parabólico, sombreado na figura a segui, pode ser calculada por meio da fórmula \(\frac { 2.PV.AB }{ 3 } \), sendo V o vértice da parábola.

Sendo b um número real positivo, a parábola de equação y= -0,5x²+bx determina, com o eixo x do plano cartesiano, um segmento parabólico da área iguala 18.
Sendo assim, b é igual a

(UPE)

Se escrevermos a função quadrática f(x) = 2x²-x+3 na forma f(x) = a.(x-m)+n, o valor de a+m+n é igual a