Prova OBMEP 2012 Nível 1

(Uece)
Se \({ L }_{ n }2=0,6931,{ L }_{ n }3=1,0986\), pode-se afirmar corretamente que \({ L }_{ n }\frac { \sqrt { 12 } }{ 3 }\) é igual a

(Enem)
Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log(x), conforme a figura.

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

(Fuvest-SP)
Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão \(S=\frac { 1 }{ 2.\log _{ 2 }{ 2016 } } +\frac { 1 }{ 5.\log _{ 3 }{ 2016 } } +\frac { 1 }{ 10.\log _{ 7 }{ 2016 } } \)
O valor de S é

(Cefet-MG)
O conjunto dos valores de \(x\in R\) para que \(\log _{ (1-2x) }{ (2-x-{ x }^{ 2 }) }\) exista como número real é:

(Cefet-MG)
Considere a função \(f:]-2,\infty [\rightarrow R\) definida por \( f(x)=\log _{ 3 }{ (x\). Se \(f(a)=\frac { 1 }{ 3 } f(b)\) então:

(Insper-SP)
O potencial biótico de uma população corresponde à sua capacidade potencial para aumentar seu número de indivíduos em condições ideais. Na natureza, entretanto, verifica-se que o tamanho das populações em comunidades estáveis não aumenta indefinidamente, sendo que, à medida que a população cresce, aumenta a resistência ambiental, reduzindo o potencial biótico. Isso ocorre até que se estabeleça um equilíbrio, como apresentado no esquema a seguir.

Considere uma população que se estabeleceu em uma área, inicialmente com 10 indivíduos, cujo crescimento foi analisado ao longo dos últimos 50 anos. Sejam P(t) o número de indivíduos dessa população, segundo o potencial biótico, após t anos do início da análise, e N(t) o número real de indivíduos da população após t anos da análise, descritos pelas seguintes funções:
\(P(t)=10.{ e }^{ 0,05.t }\quad e\quad N(t)=10.\frac { 4 }{ 1+3.{ e }^{ -0,05.t } } \)
O tempo necessário para que o número real de indivíduos seja o dobro do seu tamanho inicial excede o tempo estimado pelo potencial biótico para esse mesmo feito em
Adote: ln2 = 0,7 e ln3 = 1,1

(PUC-RJ)
Seja \(x=\log _{ 2 }{ 3 } +\log _{ 2 }{ 9 } +\log _{ 2 }{ 27 } \).
Então, é correto afirmar que:

(Insper-SP)
O potencial biótico de uma população corresponde à sua capacidade potencial para aumentar seu número de indivíduos em condições ideais. Na natureza, entretanto, verifica-se que o tamanho das populações em comunidades estáveis não aumenta indefinidamente, sendo que, à medida que a população cresce, aumenta a resistência ambiental, reduzindo o potencial biótico. Isso ocorre até que se estabeleça um equilíbrio, como apresentado no esquema a seguir.

Considere uma população que se estabeleceu em uma área, inicialmente com 10 indivíduos, cujo crescimento foi analisado ao longo dos últimos 50 anos. Sejam P(t) o número de indivíduos dessa população, segundo o potencial biótico, após t anos do início da análise, e N(t) o número real de indivíduos da população após t anos da análise, descritos pelas seguintes funções:
\(P(t)=10.{ e }^{ 0,05.t }\quad e\quad N(t)=10.\frac { 4 }{ 1+3.{ e }^{ -0,05.t } } \)
Utilizando \({ e }^{ 5 }=144\) pode-se afirmar que, atualmente, ou seja, 50 anos após o Início da observação desse grupo, o número de indivíduos dessa população segundo a curva de crescimento real é igual a

(UFRGS-RS)
Se \(\log _{ 5 }{ x } =2\quad e\quad \log _{ 10 }{ y } =4\), então \(\log _{ 20 }{ \frac { x }{ y } } \) é

(Enem)
Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000°C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.
Use 0,477 como aproximação para \(\log _{ 10 }{ (3) }\) e 1,041 como aproximação para \(\log _{ 10 }{ (11) } \).
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30°C é mais próximo de

(Epcar-MG)
No plano cartesiano, seja P(a, b) o ponto de interseção entre as curvas dadas pelas funções reais f e g definidas por \(f(x)={ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ x }\quad e\quad g(x)=\log _{ \frac { 1 }{ 2 } }{ x } \).
É correto afirmar que:

(Ufam)

A curva do gráfico a seguir representa a função \(f:{ R }^{ + }\rightarrow R \) dada por \(f(x)=\log _{ \frac { 1 }{ 2 }  }{ x } \). Se B dista 4 cm da origem, a área do triângulo ABC é igual a:

(Uece)
Se f é a função real de variável real definida por \(f(x)=\log { { (4-x }^{ 2 }) } +\sqrt { 4x-{ x }^{ 2 } } \) então, o maior domínio possível para f é

(EsPCEx-SP)
Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = log x.

Nessa representação, estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é igual a:

(FGV-SP)
Considere a seguinte tabela, em que ln(x) representa o logaritmo neperiano de x:

O valor de x que satisfaz a equação \({ 6 }^{ x }=10\) é aproximadamente igual a

(UFPR)
Suponha que a quantidade Q de um determinado medicamento no organismo t horas após sua administração possa ser calculada pela fórmula:
\(Q=15.{ \left( \frac { 1 }{ 10 } \right) }^{ 2t }\)
sendo Q medido em miligramas. A expressão que fornece o tempo tem função da qualidade de medicamento Q é:

(Insper-SP)
O número de soluções reais da equação \(\log _{ x }{ (x+3) } +\log _{ x }{ (x-2) } =2\) é:

(Enem)

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em outubro, outro terremoto, de magnitude 710 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por \(M=\frac { 2 }{ 3 } \log { \left( \frac { E }{ { E }_{ 0 } }  \right)  } \)

sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e \({ E }_{ 0 }\) uma constante real positiva. Considere que \({ E }_{ 1 }\quad e\quad { E }_{ 2 }\) representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Qual a relação entre \({ E }_{ 1 }\quad e\quad { E }_{ 2 }\)?

(IFCE)
Seja (a, b) a solução do sistema linear

O valor de \({ a }^{ b }\) será igual a.

(Uerj)

Um pesquisador, interessado em estudar uma determinada espécie de cobras, verificou que, numa amostra de trezentas cobras, suas massas M, em gramas, eram proporcionais ao cubo de seus comprimentos L, em metros, ou seja, M = a.L³ em que a é uma constante positiva.

Observe os gráficos a seguir.

Aquele que melhor representa log M em função de log L é o indicado pelo número:

(FGV-SP)
Sendo p e q números reais, com p > q e p+q>0, definiremos a operação # entre p e q da seguinte forma: p # q = p²-q²+log(p + q), com log (p + q) sendo o logaritmo na base 10 de (p + q). Utilizando-se essa definição, o valor de 10 # (—5) é igual a

(Udesc-SC)
Considere \(\log { x } =\frac { 5 }{ 2 } ,\log { y } =\frac { 13 }{ 5 } \). Com base nesses dados, analise as proposições.
I. \(xy={ 10 }^{ \frac { 51 }{ 10 } }\)
II. \(\log { ({ y }^{ 2 } } -{ x }^{ 2 })=0,2\)
III. \(\log { \left( \frac { x }{ y } +2+\frac { y }{ x } \right) } =0,608\)
Assinale a alternativa correta.

(Unicamp-SP)
Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740°C. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40°C. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função
\(T(t)=\left( { T }_{ 0 }-{ T }_{ ar } \right) .{ 10 }^{ \frac { t }{ 12 } }+{ T }_{ ar }\)
sendo t o tempo em minutos, \({ T }_{ 0 }\) a temperatura inicial e \({ T }_{ ar }\) a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140°C é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10

(Uece)
Se \(f:R \rightarrow R\) é a função definida por \(f(x)={ 10 }^{ 1-Lx }\), então, o valor de log (f(e)) é igual a

(Insper-SP)
Uma pessoa irá escolher dois números reais positivos A e B. Para a maioria das possíveis escolhas, o logaritmo decimal da soma dos dois números escolhidos não será igual à soma de seus logaritmos decimais. Porém, se forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal igualdade se verificará. Com essas informações, pode-se concluir que o número r pertence ao intervalo.

(Enem)
Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão\(M(t)=A.{ (2,7) }^{ kt }\), onde A é a massa Inicial e k é uma constante negativa.
Considere 0,3 como aproximação para \(\log _{ 10 }{ 2 } \).
Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

(Ufam)
Resolvendo em R a inequação \(\log _{ 25 }{ ({ x }^{ 2 }-x) } >\log _{ 25 }{ (2x+10) }\)
Deve-se obter como solução (S):

(ITA-SP)
Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações \(\sqrt { a\sqrt { b } } =\frac { 1 }{ 2 } \quad e\quad \ln { ({ a }^{ 2 } } +b)+\ln { 8 } =\ln { 5 }\) um possível valor de \(\frac { a }{ b } \) é:

(UFJF-MG)
Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que \(\log _{ b }{ a } =5,\quad \log _{ b }{ c } =2\quad e\quad \log _{ b }{ d } =3\).
O valor da expressão \(\log _{ c }{ \frac { { a }^{ 2 }{ b }^{ 5 } }{ { d }^{ 3 } } } \) é igual a

(UFRGS-RS)
Se \({ 10 }^{ x }={ 20 }^{ y }\) atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de \(\frac { x }{ y } \) é

(Vunesp)
No artigo “Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”, o pesquisador Philip M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático para o cálculo da área de desmatamento a função \(D(t)=D(0).{ e }^{ kt }\) em que D(t) representa a área de desmatamento no instante t, sendo t medido em anos desde o instante inicial, D(0) a área de desmatamento no instante inicial t = 0, e k a taxa média anual de desmatamento da região. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade, que a taxa média anual de desmatamento (k) da Amazônia seja 0,6% e usando a aproximação \(\ln { 2 } \simeq 0,69\), o número de anos necessários para que a área de desmatamento da Amazônia dobre seu valor, a partirde um instante inicial prefixado, é aproximadamente:

(Uerj)
Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por 5.
Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 10. Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número:

(Uerj)
Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para \({ 10 }^{ n-\frac { 1 }{ 2 } }\le \quad x\quad \le { 10 }^{ n+\frac { 1 }{ 2 } }\) . Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que \(\log _{ 10 }{ E } =15,3\).
A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a:

(Uerj)
Observe no gráfico a função logaritmo decimal definida por y = log(x).

Admita que, no eixo x, 10 unidades correspondem a 1 cm e que, no eixo y a ordenada log(1000) corresponde a 15 cm.
A escala x : y na qual os eixos foram construídos equivale a:

(FGV-SP)
Estima-se que, daqui a t semanas, o número de pessoas de uma cidade que ficam conhecendo um novo produto seja dado por \(N=\frac { 20000 }{ 1+19{ (0,5) }^{ t } } \).
Daqui a quantas semanas o número de pessoas que ficam conhecendo o produto quintuplica em relação ao número dos que conhecem hoje?

(Uneb-BA)
Segundo urna pesquisa, após t meses da constatação da existência de uma epidemia, o número de pessoas, por ela atingidas, é obtido por \(N(t)=\frac { 10000 }{ 1+8.{ 4 }^{ -2t } } \).
Considerando-se que o mês tenha 30 dias, log2 = 0,30 e log3 = 0,48 pode-se estimar que 2500 pessoas serão atingidas por essa epidemia em, aproximadamente,

(UPF-RS)
Abaixo está representado o gráfico de uma função f definida em \({ R }_{ + }^{ * }\quad por\quad f(x)=1-\log _{ 3 }{ \left( \frac { x }{ k } \right) } \).

Tal como a figura sugere, 2 é um zero de f. O valor

(Mack-SP)
O valor de (x + y), com x e y reais positivos, tais que  ,é:

(UFPR)
Considere o gráfico da função \(f(x)=\log _{ 2 }{ x } \) e a reta r que passa pelos pontos A e B, como indicado na figura a sendo k a abscissa do ponto em que a reta r intersecta o eixo 0x. Qual é o valor de k?