Prova OBMEP 2012 Nível 2

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Prova OBMEP 2012 Nível 2

Marcelo F Batista 05/02/2025

Questões da Prova OBMEP 2012 – Nível 2. Resolva todas as provas da OBMEP aqui.

Teste de Razões trigonométricas Matemática 2ª série

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Pergunta 1 de 24

1. Pergunta
(UFSJ-MG) Considerando os valores de \(\theta\), para os quais a expressão \(\frac { sen\theta }{ cossec\theta }\) + \(\frac { cos\theta }{ sec\theta }\) é definida, é correto afirmar que ela está sempre igual a:
- 1
- 2
- sen \(\theta\)
- cos \(\theta\)
Correto

Incorreto
Pergunta 2 de 24

2. Pergunta
(Uern) Considerando que \({ sen }^{ 2 }\alpha =\frac { 3 }{ 4 }\), com 0° < \(\alpha\) < 90°, então o valor da expressão \(\left( cos\frac { \alpha }{ 2 } +sen\alpha \right) . tg\alpha \)é
- 1
- 3
- \(\sqrt { 3 }\)
- 2\(\sqrt { 3 }\)
Correto

Incorreto
Pergunta 3 de 24

3. Pergunta
(EsPCEx-SP) O valor de (cos 165° + sen 155° + cos 145° – sen 25° + cos 35° + cos 15°) é
- \(\sqrt { 2 }\)
- -1
- 0
- 1
- \(\frac { 1 }{ 2 }\)
Correto

Incorreto
Pergunta 4 de 24

4. Pergunta
(FGV-SP) Sabendo que o valor da secante de x é dado por sec x = \(\frac { 5 }{ 4 }\), em que x pertence ao intervalo \(\left[ \frac { 3\pi }{ 2 } , 2\pi \right]\), podemos afirmar que os valores de cos x, sen x e tg x são respectivamente:
- \(\frac { 4 }{ 5 }, \frac { -3 }{ 5 } e \frac { -3 }{ 4 } \)
- \(\frac { 4 }{ 5 }, \frac { 3 }{ 5 } e \frac { 3 }{ 4 } \)
- \(\frac { -3 }{ 5 }, \frac { 4 }{ 5 } e \frac { -4}{ 3 } \)
- \(\frac { -3 }{ 5 }, \frac { -4 }{ 5 } e \frac { 4 }{ 3 } \)
- \(\frac { 4 }{ 5 }, \frac { -3 }{ 5 } e \frac { 3 }{ 4 } \)
Correto

Incorreto
Pergunta 5 de 24

5. Pergunta
(Uece) Se x é um arco localizado no segundo quadrante e cos x = -\(\frac { 3 }{ 5 }\), entãol o valor de cos x + sen x + tg x + cotg x + sec x + cossec x é:
- -4,5
- -2,3
- -3,4
- -5,6
Correto

Incorreto
Pergunta 6 de 24

6. Pergunta
(PUC-RJ) Se tg \(\theta\) = 1 e \(\theta\) pertence ao primeiro quadrante, então cos \(\theta\) é igual a:
- 0
- \(\)\frac { 1 }{ 2 }
- \(\frac \sqrt { 2 } }{ 2 }\)
- \(\frac \sqrt { 3 } }{ 2 }\)
- 1
Correto

Incorreto
Pergunta 7 de 24

7. Pergunta
(FEI-SP) Simplificando a expressão \(\sqrt { 1 + { cotg }^{ 2 } x } }{ 3 { sec }^{ 2 } }\) onde existir, obtemos:
- \(\frac { { tg }^{ 2 }x } { 3 }\)
- \(3 { cotg }^{ 2 }x\)
- \(3 { tg }^{ 2 }x\)
- \(\frac { { cotg }^{ 2 }x } { 3 }\)
- \({ sec }^{ 2 }3x\)
Correto

Incorreto
Pergunta 8 de 24

8. Pergunta
(Cefet-PR) Considere as afirmações a seguir, em relação a razões trigonométricas no ciclo trigonométrico:

I. cotg \(\frac { \pi }{ 6 }\) = tg \(\frac { 4\pi }{ 3 }\)
II. sec 60° = sen 90° – cos 180°
III. sen 316° – cos 314°
IV. cossec 30° = sen 120°

Somente estão corretas:
- I e II
- II e III
- I, II e III
- II e IV
- I, III e IV
Correto

Incorreto
Pergunta 9 de 24

9. Pergunta
(UFRR) Indique qual das afirmações abaixo é verdadeira:
- cos 200° < tg 200° < sen 200°
- cos 200° < sen 200° < tg 200°
- sen 200° < tg 200° < cos 200°
- sen 200° < cos 200° < tg 200°
- tg 200° < sen 200° < cos 200°
Correto

Incorreto
Pergunta 10 de 24

10. Pergunta
(UPE) Na figura ao lado, estão representados o ciclo trigonométrico e um triângulo trigonométrico e um triângulo isósceles OAB. Qual das expressões abaixo corresponde a área do triângulo OAB em função do ângulo \(\alpha\)
- tg \(\alpha\) . sen \(\alpha\)
- \(\frac { 1 }{ 2 } . tg \alpha . cos \alpha\)
- sen \(\alpha\) . cos \(\alpha\)
- \(\frac { 1 }{ 2 } . tg \alpha . sen \alpha\)
- tg \(\alpha\) . cos \(\alpha\)
Correto

Incorreto
Pergunta 11 de 24

11. Pergunta
(UEG-GO) Sabendo-se que sen(x) = \(\)\frac { 1 }{ 2 } e que x é um ângulo do 1º quadrante, o valor da expressão sen (4x) – cos (4x) é
- \(\frac { \sqrt { 3 } – 1 }{ 2 }\)
- \(\frac { 1 }{ 2 }\)
- \(\frac { \sqrt { 3 } + 1 }{ 2 }\)
- 2
Correto

Incorreto
Pergunta 12 de 24

12. Pergunta
(Unicamp-SP) Seja x real tal que cos x = tg x. O valor de sen x é:
- \(\frac { { (\sqrt { 3 }}- 1 )} { 2 }\)
- \(\frac { {(1-\sqrt { 3 }})} { 2 }\)
- \(\frac { { (\sqrt { 5 }}- 1 )} { 2 }\)
- \(\frac { {(1-\sqrt { 5 }})} { 2 }\)
Correto

Incorreto
Pergunta 13 de 24

13. Pergunta
(Unesp-SP) Dada a expressão f(x) = \(\log _{ 10 }\left[ \frac { 1 }{ sen(x).cossec (x) } \right], com x \in R\) pode-se afirmar que:
- f(x) = \(\log _{ 10 }\) (cotg(x))
- f(x) = \(\log _{ 10 }\) (tg(x))
- f(x) = 10, qualquer que seja x
- f(x) = 1, qualquer que seja x
- f(x) = 0, qualquer que seja x
Correto

Incorreto
Pergunta 14 de 24

14. Pergunta
(Mack-SP) O maior valor que o número real [\(\frac { 10 }{ 2 – \frac { senx }{ 3 } } \) pode assumir é
- \(\frac { 20 }{ 3 }\)
- \(\frac { 7 }{ 3 }\)
- 10
- 6
- \(\frac { 20 }{ 7 }\)
Correto

Incorreto
Pergunta 15 de 24

15. Pergunta
(Insper-SP) O professor de Matemática de Artur e Bia pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras científicas no modo “radianos” e calculassem o valor de sen \(\frac { \pi }{ 2 }\). Tomando um valor aproximado, Artur digitou em sua calculadora o número 1,6 e, em seguida, calculou o seu seno, encontrando o valor A. Bia calculou o seno de 1,5, obtendo o valor B. Considerando que \(\frac { \pi }{ 2 }\) vale aproximadamente 1,5708, assinale a alternativa que traz a correta ordenação dos valores A, B e sen \(\frac { \pi }{ 2 }\).
- sen \(\frac { \pi }{ 2 }\) < A < B
- A < sen [latex]\frac { \pi }{ 2 }[/latex] < B
- A < B < sen [latex]\frac { \pi }{ 2 }[/latex]
- B < sen [latex]\frac { \pi }{ 2 }[/latex]
Correto

Incorreto

Pergunta 16 de 24

16. Pergunta

(Cefet-MG) Considerando-se a soma
S = \(\left[ \frac { \pi }{ 2 } +\frac { \pi }{ 6 } +\frac { \pi }{ 18 } +\frac { \pi }{ 54 } \right] \), o valor de cos(S) é igual a:

\(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
\(\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \)
\(\frac {-1 }{ 2 } \)
-1
-2

Correto

Incorreto

Pergunta 17 de 24

17. Pergunta

(FGV-SP) No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco \(\bar { AB } mede \alpha\). Assim, PM é igual a:

\(-1 – tg\alpha\)
\(1 – cos\alpha\)
\(1 + cos\alpha\)
\(1 + sen\alpha\)
\(-1 + cotg\alpha\)

Correto

Incorreto

Pergunta 18 de 24

18. Pergunta

(Enem) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d \(\preceq\) r sobre a circunferência.

Então o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por:

\(r.\left( 1- sen\frac { d }{ r } \right) \)
\(r.\left( 1- cos\frac { d }{ r } \right) \)
\(r.\left( 1- tg\frac { d }{ r } \right) \)
\(r. sen\left(\frac { d }{ r } \right) \)
\(r. cos\left(\frac { d }{ r } \right) \)

Correto

Incorreto

Pergunta 19 de 24

19. Pergunta

(Fuvest-SP) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação \(({ cos }^{ 2 }\alpha){ x }^{ 2 } – cos(4cos \alpha sen \beta)x +\frac { 3 }{ 2 } sen \beta = 0, sendo \alpha e \beta\) os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo.

Pode-se então afirmar que as medidas de \(\alpha e \beta\) são, respectivamente:

\(\frac { \pi }{ 8 } e \frac { 3\pi }{ 8 }\)
\(\frac { \pi }{ 6 } e \frac { \pi }{ 3 }\)
\(\frac { \pi }{ 4 } e \frac { \pi }{ 4 }\)
\(\frac { \pi }{ 3 } e \frac { \pi }{ 6 }\)
\(\frac { 3\pi }{ 8 } e \frac { \pi }{ 8 }\)

Correto

Incorreto

Pergunta 20 de 24

20. Pergunta

(Fuvest-SP) O dobro do seno de um ângulo \(\theta, 0 < \theta < \frac {\pi}{2}\), é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu cosseno é:

\(\frac {2}{3}\)
\(\frac {\sqrt { 3 }}{2}\)
\(\frac {\sqrt { 2 }}{2}\)
\(\frac {1}{2}\)
\(\frac {\sqrt { 3 }}{3}\)

Correto

Incorreto

Pergunta 21 de 24

21. Pergunta

(UEPB) Dados tg x = -2 e x um arco do 2º quadrante, o valor de sec x + cossec x é:

\(-\sqrt { 5 } \)
\(-\frac { \sqrt { 5 }} { 4 }\)
\(-\frac { \sqrt { 5 }} { 2 }\)
\(\frac { \sqrt { 5 }} { 2 }\)
\(\sqrt { 5 } \)

Correto

Incorreto

Pergunta 22 de 24

22. Pergunta

(Unesp-SP) Se tg(x) = \(\frac { 2ab }{ { a}^{ 2 } – { b}^{ 2 } }\), em que a > b > 0 e 0° < x < 90°, então o valor de sen(x) é:

\(\frac {b}{a}\)
\(\frac {b}{a + b}\)
\(\frac {a – b}{a + b}\)
\(\frac { { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }} \)
\(\frac { 2ab}{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \)

Correto

Incorreto

Pergunta 23 de 24

23. Pergunta

(Fuvest-SP) O triângulo AOB é isósceles, com AO = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo \(\theta\) a medida do ângulo AOB, pode-se garantir que a área d(Fuvest-SP) O triângulo AOB é isósceles, com AO = OB, e ABCD é um quadrado. Sendo \(\theta\) a medida do ângulo AOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se:o quadrado é maior do que a área do triângulo se: