Prova PROFMAT ENA – 2019

Se \( \ell \) é o lado e A é a área de um triângulo equilátero, então é correto afirmar que:

Na figura, estão representadas as engrenagens A, B e C, que possuem, respectivamente, 60, 45 e 90 dentes cada uma. Quantas voltas completas dará a engrenagem A se a engrenagem C der 4 voltas completas e mais \( \frac { 2 }{ 3 } \) de volta?

Qual é a soma dos valores de k ∈ R para os quais a equação \( \frac { k }{ x²-4 } +\frac { 1 }{ x+2 }=0\) não possua solução real?

Quantas raízes reais possui a equação \( 3+\sqrt { 3+{ x }^{ 4 } } =x² \)?

Considere as asserções abaixo e a relação proposta entre elas.
I. A soma e o produto das raízes da equação 2x² + 5x + 2 = 0 são -5 e 2, respectivamente.

PORQUE

II. Se s e p são, respectivamente, a soma e o produto das raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a, b, c ∈ R e a \( \neq \) 0, então s = −b e p = c.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

Que número inteiro pode ser escrito como \( \sqrt { 19+6\sqrt { 10 } } -\sqrt { 19-6\sqrt { 10 } } \)?

Na figura abaixo, o semicírculo de centro O e tangente à hipotenusa BC e ao cateto AC do triangulo retângulo ABC. Se \( \bar { BD } =2 \) e \( \bar { AC } =12 \), determine o raio do semicírculo.

A hipotenusa de um triangulo retângulo isósceles \( { T }_{ 1 } \), cujos catetos medem ℓ, e o cateto de um triângulo retângulo isósceles \( { T }_{ 2 } \). A hipotenusa de \( { T }_{ 2 } \) e o cateto de um triângulo retângulo isósceles \( { T }_{ 3 } \), cuja hipotenusa é cateto do triângulo retângulo isósceles \( { T }_{ 4 } \) e assim por diante. O valor de ℓ que torna a medida da hipotenusa de \( { T }_{ 100 } \) igual a \( { 2 }^{ 50 } \) é:

Dois carros partem da cidade A para a cidade B pela mesma estrada, cujo trecho entre A e B mede 120km. O primeiro carro parte às 10h com velocidade constante de 60km/h e o segundo carro sai às 10h10min com velocidade constante de 80km/h. A que horas o segundo carro alcançará o primeiro?

O gráfico abaixo mostra o progresso de um corredor, em uma corrida de 6km de extensão.

Costuma-se chamar de pace a razão \( \frac { t }{ d } \),onde t é o tempo, em minutos, que um corredor leva para percorrer uma distancia d, em quilômetros. Desta forma, considerando a corrida representada pelo gráfico acima, é correto afirmar que

O quadrado central da figura abaixo tem seus lados inferior e superior alinhados com os quadrados da esquerda e da direita, respectivamente. O lado superior do quadrado da esquerda esta alinhado com o lado inferior do quadrado da direita.

Sabendo que a area do quadrado central é igual a 9 e que os quadrados possuem lados de medidas distintas, a área do quadrilátero destacado é um

Dado n ∈ Z, com n \( \ge \) 1, para quantos valores inteiros de m a equação

x² + mx + mn = 0

não possui soluções reais?

Na figura abaixo temos um círculo inscrito em um losango cujos vértices são os pontos médios dos lados de um retângulo, cuja base tem o dobro da altura. A razão entre a área preenchida de preto e a ´ área listrada é dada por:

Denomina-se terno pitagórico um trio (a, b, c) de números inteiros positivos tais que satisfazem a expressão a² + b² = c². Se (x+2, 2x, \( 5\sqrt { x } \)) é um terno pitagórico, então x é:

Na figura, ABCD e um quadrado. Além disso, AG é paralelo a CH, BF é paralelo a DE, \( \bar { FC } =2\cdot \bar { DF } \) e \( \bar { DH } =2\cdot \bar { AH } \). A area do quadrilátero IJKL, que possui como vértices os pontos de intersecção dos segmentos AG, CH, BF e DE, representa que fração da área do quadrado ABCD?

Considere dois triângulos isósceles ABC e DEF de mesma área, não congruentes e tais que \( \bar { AB } =\bar { AC } =\bar { DE } =\bar { DF } \). Podemos afirmar que se \( \bar { BC } <\bar { EF } \), então a razão \( \frac { \bar { BC } }{ \bar { EF } }  \) entre as bases desses dois triângulos é igual a:

A figura abaixo representa um pentágono regular, duas de suas diagonais e um segmento ligando um de seus vértices ao ponto médio do lado oposto a este vértice. Quantos triângulos isósceles aparecem na figura?

Um triangulo retângulo ABC, possui hipotenusa BC de medida 6cm. A maior área possível, em cm², para ABC é:

Adotando \( \sqrt { 3 } \)≈ 1,7 e \( \sqrt { 2 } \) ≈ 1,4 e sabendo que o segmento AC é dividido pelo ponto D na razão de 2 para 1, com \( \bar { AD } >\bar { DC } \), podemos afirmar, com base nas informações contidas na figura, que representa a vista frontal de uma casa, que a largura FG da casa, em metros, é aproximadamente igual a

Quantos números pares com quatro algarismos distintos existem?

Os triângulos ABC e AMP da figura abaixo são semelhantes e os lados MP e BC não são paralelos.

Considere as seguintes afirmações sobre porcentagem:

I. \( \sqrt { 144% } = \quad 12% \)

II. \( \sqrt [ 3 ]{ 12,5% } =\quad 50% \)

III. 3% · 5% = 15%.

É correto o que se afirma em:

No mês de janeiro um lojista aumentou o preço das roupas em 10% e em fevereiro aumentou o novo preço em mais 10%. No mês de março resolveu fazer uma liquidação e ofereceu um desconto de 20%. Em relação ao preço antes dessas três alterações, podemos afirmar que

Em um estacionamento há 5 vagas exclusivamente para carros e 7 vagas mais estreitas exclusivamente para motos. De quantas formas é possível estacionar 3 carros e 4 motos nessas vagas?

Uma pesquisa sobre renda familiar foi realizada com os alunos ingressantes de um curso e mais tarde com aqueles que conseguiram concluí-lo.

Sabendo que houve evasão durante o curso e que, ao longo deste, alguns alunos mudaram sua faixa de renda, podemos afirmar, com base nos gráficos e no fato de que novos alunos não mais adentraram no curso desde então, que:
(I) certamente houve diminuição no n úmero de alunos que recebiam mais de 5 salários mínimos do início para o final do curso.
(II) 12% dos alunos que recebiam de 2 a 3 salários mínimos não concluíram o curso.
(III) é possível que a quantidade de alunos que recebiam de 4 a 5 salários mínimos quando concluíram o curso seja menor do que a quantidade de alunos que, quando ingressaram, pertenciam a esta faixa de renda.
E correto o que se afirma em:

Uma prova possui 30 questões de múltipla escolha, cada questão possui 5 itens, dentre os quais há sempre um único item correto. Se João acertou todas as 26 questões que sabia resolver e marcou aleatoriamente todas as que não sabia, qual é a probabilidade de João errar no máximo uma questão?

Um dado não viciado é lançado duas vezes. Neste contexto, 25% é a probabilidade de

Sendo A, B, C e D pontos de coordenadas inteiras e E e F os pontos de interseção dos segmentos AB e CD com as linhas horizontais da malha, podemos afirmar que a abscissa do ponto médio G do segmento EF é dada por:

As médias aritméticas das notas das turmas A e B são, respectivamente, iguais a 6 e 5. Sabendo que a turma A tem 30 alunos e a turma B tem 45 alunos, a media aritmética das notas dos 75 alunos das duas turmas é igual a

Duas peças distintas devem ser dispostas em um tabuleiro 6 × 6, de forma que não ocupem a mesma casa ou casas adjacentes, isto é, casas com um lado ou vértice em comum. Como exemplo, a figura abaixo mostra quatro situações que não são admitidas.

Observamos que, em cada uma das figuras acima, uma vez posicionada a peça com a coroa, as casas marcadas em cinza são todas aquelas onde a outra peça não poderia estar.
De quantas formas distintas é e possível dispor as duas peças segundo as regras acima?